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Simulação de Monte Carlo com GBM Uma das formas mais comuns de estimar o risco é o uso de uma simulação de Monte Carlo (MCS). Por exemplo, para calcular o valor em risco (VaR) de um portfólio, podemos executar uma simulação de Monte Carlo que tenta prever a pior perda provável de um portfólio dado um intervalo de confiança em um horizonte temporal especificado - sempre precisamos especificar dois Condições para VaR: confiança e horizonte. (Para leitura relacionada, veja Os Usos e Limites de Volatilidade e Introdução ao Valor em Risco (VAR) - Parte 1 e Parte 2). Neste artigo, analisaremos um MCS básico aplicado a um preço de ações. Precisamos de um modelo para especificar o comportamento do preço das ações e use um dos modelos mais comuns em finanças: movimento browniano geométrico (GBM). Portanto, enquanto a simulação de Monte Carlo pode se referir a um universo de abordagens diferentes para simulação, começaremos aqui com os mais básicos. Onde começar Uma simulação de Monte Carlo é uma tentativa de prever o futuro muitas vezes. No final da simulação, milhares ou milhões de ensaios aleatórios produzem uma distribuição de resultados que podem ser analisados. As etapas básicas são: 1. Especificar um modelo (por exemplo, movimento geométrico browniano) 2. Gerar ensaios aleatórios 3. Processar a saída 1. Especificar um modelo (por exemplo, GBM) Neste artigo, usaremos o movimento geométrico Browniano (GBM) Que é tecnicamente um processo de Markov. Isso significa que o preço das ações segue uma caminhada aleatória e é consistente com (pelo menos) a forma fraca da hipótese de mercado eficiente (EMH): a informação de preços passados ​​já está incorporada e o próximo movimento de preços é condicionalmente independente dos movimentos de preços passados . (Para mais informações sobre EMH, leia Trabalhando através da Hipótese do Mercado Eficiente e O que é a Eficiência do Mercado) A fórmula para o GBM é encontrada abaixo, onde S é o preço das ações, m (o M grego) é o retorno esperado. S (sigma grego) é o desvio padrão dos retornos, t é o tempo, e e (Epsilon grego) é a variável aleatória. Se reorganizarmos a fórmula para resolver apenas a mudança no preço das ações, vemos que a GMB diz que a variação no preço das ações é o preço das ações S multiplicado pelos dois termos encontrados dentro dos parênteses abaixo: O primeiro termo é uma deriva e o segundo O termo é um choque. Para cada período de tempo, nosso modelo assume que o preço irá diminuir pelo retorno esperado. Mas a deriva será chocada (adicionada ou subtraída) por um choque aleatório. O choque aleatório será o desvio padrão s multiplicado por um número aleatório e. Esta é simplesmente uma maneira de dimensionar o desvio padrão. Essa é a essência do GBM, como ilustrado na Figura 1. O preço das ações segue uma série de etapas, em que cada passo é um drift plusminus um choque aleatório (em si, uma função do desvio padrão dos estoques): eu quero simular caminhos de preço de estoque Com diferentes processos estocásticos. Comecei com o famoso movimento browniano geométrico. Eu simulei os valores com a seguinte fórmula: Rifrac - Si mu Delta t sigma varphi sqrt mu amostra significa sigma amostra volatilidade Delta t 1 (1 dia) varphi normalmente distribuído aleatório número Eu usei uma maneira curta de simular: Simular números aleatórios normalmente distribuídos com Média da amostra e desvio padrão da amostra. Multiplicar isso com o preço das ações, isso dá o incremento de preço. Calcule a Soma do incremento de preço e do preço das ações e isso dá o valor do preço do estoque simulado. (Esta metodologia pode ser encontrada aqui) Então eu pensei que entendi isso, mas agora eu encontrei a seguinte fórmula. Que é também o movimento browniano geométrico: St S0 expleftleft (mu - fracta direita) t sigma Wt direito Eu não entendo a diferença O que a segunda fórmula diz em comparação com o primeiro Eu deveria ter tomado o segundo Como eu deveria simular com A segunda fórmula Para complementar o comentário SRKX, eu tento explicar a prova matemática simples entre ambas as fórmulas. Eu suponho que você conhece o movimento browniano geométrico ou aritmético: Geométrico: comece dS mu S dt sigma Sdz end Arithmetic. Comece dS mu dt sigma dz end Em seguida, outra importante ferramenta estocástica que você precisa saber é o chamado Ito Lemma. Falando, se uma variável aleatória x segue um processo Ito. (Drift a (x, t) et variance b (x, t)): se substituímos x pelo preço das ações e tomamos seu logaritmo: G ln (S). Nós também sabemos. Comece dS mu S dt sigma Sdz final, em seguida, mu S e b sigma S e comece frac frac, frac G - frac, frac 0 terminem usando Ito lemma. Comece dG (mu - frac) dt sigma dz end Assim, se investigarmos a variação de ln (S) (G) entre a data zero e a data T. começar ln (S) - ln (S) sim phi (mu - frac) T , Sigma sqrt end begin ln (S) sim philn (S) (mu - frac) T, sigma sqrt end Se integramos. Começar S (t) S (0) exp) t sigma (z (t) - z (0)) terminar ou iniciar S (t) S (0) exp) t B final onde B é um movimento browniano. Respondeu Jan 27 14 às 17:10 Eles não serão o mesmo. Se você executar uma simulação discreta, você obterá o processo de preço real (ou uma instância de um caminho real) para o valor futuro do estoque usando a medida de probabilidade real. Se você fizer a mesma coisa usando a solução de formulário fechada, o caminho ficará muito semelhante, mas irá derrubar para baixo. Por que eles são diferentes Para vê-lo facilmente, crie um modelo de planilha com um gráfico que mostra o caminho real e o modelado (o último sendo o com e. Em seguida, conecte talvez 5 para r (ou mu, eles são os mesmos) . Em seguida, execute-o usando sigma0 e talvez sigma40. Será claro que sem risco (sigma0) o caminho é apenas StB0e, onde B0 é o preço do vínculo no tempo t0. Ele se desloca em valor para retornar a taxa livre de risco Em um único período (um ano). Isso faz sentido. No entanto, com sigma40, o processo de preço modelado para um estoque que começa no preço B0 deriva para baixo. O ponto inteiro de uma medida e modelo neutro ao risco é que você desconta os valores futuros por A taxa de risco neutro ou sem risco. Não faz isso real ou faz com que os estoques esperados retornem o mesmo que um vínculo. Ele apenas o torna consistente. Então imagine um estoque com um preço inicial de S0. Se o estoque Tem um risco maior do que o vínculo (o que deve) e os investidores em equilíbrio ofereceram o preço a um ponto por isso é expe Citado para ter um retorno maior do que o vínculo para compensar o risco, deve ser que o estoque tenha o preço de um desconto para o vínculo se os investidores esperam que o valor futuro seja igual. Assim, se os investidores esperam B S então S0ltB0. Em essência, o estoque tem um preço hoje com desconto para o vínculo. A solução de forma fechada faz tudo em espaço neutro em termos de risco. Então, se começarmos com S0B0, a trajetória de títulos do preço Bt deve descontar novamente para B0 quando a taxa livre de risco é usada. Como resultado, o valor futuro do estoque ao mesmo tempo deve estar abaixo de Bt para que ele reduza de volta para um valor menor em t0 usando r como a taxa de desconto para ganhar um retorno que compense o risco. Simplesmente, se você rolar uma simulação, o estoque superará o vínculo em média, mas se você vir um modelo de preço sob a neutralidade do risco, o caminho deve ser tal que, quando você desconta valores futuros para hoje, deve dar-lhe um valor justo hoje para O estoque. Este é um pouco de truques matemáticos de mão, mas tudo funciona da mesma forma. Assim, por exemplo, se B0100 e r5 o valor futuro da ligação em um ano é de 105, e seu valor atual é 100. Mas o valor futuro do estoque deve parecer um número menor (digamos, talvez, 94) para que O preço hoje, S0, é talvez 89 ou alguns desses. A solução de formulário fechado não lhe dá o modelo de preço real. Isso lhe dá um modelo de preço futuro que permite que você avalie um estoque como se a taxa livre de risco pudesse ser usada para descontar o valor futuro para obter o valor presente correto. Eles são realmente o mesmo modelo que acabamos de expressar de forma diferente.